AHP层次分析法

层次分析法，即所谓的Analytic Hierarchy Process，是通过分解决策相关元素为目标、准则方案等多个层次来进行定量和定性分析

• 指标定权

给指标制定权重，打个比方，例如选择旅游地这个决策，可能一般我们由以下5个因素组成，但是每个人（主观）对因素的重视程度不一，ahp可以实现在无需搜集数据的情况下，给这些指标制定权重。

我们一般使用判断矩阵进行标度给分：

1. 构建判断矩阵：对每一层中的准则或选项进行成对比较，判断其相对重要性。通过1到9的标度来表示相对重要性，1表示同等重要，9表示绝对重要。矩阵中元素 𝑎𝑖𝑗aij​ 表示第 𝑖i 个元素与第 𝑗j 个元素的重要性比值。标度示例：
   • 1: 同等重要
   • 3: 稍微重要
   • 5: 明显重要
   • 7: 强烈重要
   • 9: 极端重要
   • 2, 4, 6, 8: 表示介于上述两者之间的中间值

构建层次评价模型

顾名思义，在这个层次评价模型里面，我们需要确认整个决策事件的目标层、准则层、方案层

其中，

目标层：最优旅游地选择

准则层：景色、费用、居住、饮食、旅途

方案层：西安、云南、西藏、青海

需要注意的时，准则层如果有多层，例如下图所示，依次类推就行了。

构造判断矩阵就是通过各要素之间相互两两比较，并确定各准则层对目标层的权重。

构造判断矩阵就是通过各要素之间相互两两比较，并确定各准则层对目标层的权重。

简单地说，就是把准则层的指标进行两两判断，通常我们使用Santy的1-9标度方法给出。

对于准则层A，我们可以构建一个

其中A 中的元素满足：

构建过程如上图所示

层次单排序与一致性检验

tep1：层次单排序

层次单排序是指针对上一层某元素将本层中所有元素两两评比，并开展层次排序， 进行重要顺序的排列，具体计算可依据判断矩阵 A 进行，计算中确保其能够符合 AW=𝜆𝑚𝑎𝑥𝑊的特征根和特征向量条件。在此，A 的最大特征根为λmax，对应λmax的正规化的特征向量为 W，𝑤𝑖为 W 的分量，其指的是权值，与其相应元素单排序对应。 利用判断矩阵计算各因素𝑎𝑖𝑗对目标层的权重（权系数）。

权重向量（W）与最大特征（λmax）的计算步骤（方根法或者和法）如下表所示：

step2：求解最大特征根与CI值

设 n 阶判断矩阵为 B，则可用以下方法求出其最大的特征根𝜆𝑚𝑎𝑥:

BW=λW

其中，W 是 B 的特征向量。 在层次分析法中， 我们用以下的一致性指标 CI 来检验判断的一致性指标 （Consistency Index）：

C.I.=0 表示判断矩阵完全一致，C.I.越大，判断矩阵的不一致性程度越严重。

step3：根据CI、RI值求解CR值，判断其一致性是否通过

Satty 模拟 1000 次得到的随机一致性指标 R.I.取值表（如下表 所示）：

当 C.R.<0.1 时，表明判断矩阵 A 的一致性程度被认为在容许的范围内，此时可 用 A 的特征向量开展权向量计算；若 C.R.≥0.1, 则应考虑对判断矩阵 A 进行修正。

2.3.1 层次单排序

简单地说，层次单排序就是根据我们构成的判断矩阵，求解各个指标的权重。

例如我们现在在2.2构建完成了准则层的判断矩阵A如下：

将将向量标准化即为权重向量，即得到权重

还有和法，其实差不多，适用于元素都小于1的情况

求解最大特征根与CI值

指标	景色	费用	居住	饮食	旅途
景色	1	5	5	0.3333	8
费用	0.2	1	0.25	0.1667	2
居住	0.2	4	1	0.2	3
饮食	3	6	5	1	6
旅途	0.125	0.5	0.3333	0.1667	1

标准化后权重W为：

景色	费用	居住	饮食	旅途
0.3104	0.0591	0.1157	0.4716	0.0432

指标	景色	费用	居住	饮食	旅途
景色	0.3104	0.2955	0.5785	0.15718428	0.3456
费用	0.06208	0.0591	0.028925	0.07861572	0.0864
居住	0.06208	0.2364	0.1157	0.09432	0.1296
饮食	0.9312	0.3546	0.5785	0.4716	0.2592
旅途	0.0388	0.02955	0.03856281	0.07861572	0.0432

层次总排序与一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层（目标层）相对重要性的权值，称为层次总排 序。该过程是从最高层次向最低层次依次进行：

设 B 层𝐵1 ，𝐵2 ⋯ ，𝐵𝑛对上层（A 层）中因素𝐴𝑗（𝑗 = 1,2， ⋯ ，𝑚）的层次排序 一致性指标为𝐶𝐼𝑗，随机一致性指标为𝑅𝐼𝑗 ,则层次总排序的一致性比率为：