线性代数笔记

2023年7月8日关作者 ScotI_Blog

基于期末卷子

章节整理

一、线性方程组解的结构

1.高斯消元法

高斯消元（阶梯形式EF）

使用表示成AX=b的矩阵

其中A表示的是对应的系数矩阵，b是解的线性组合
将系数矩阵和右端向量合在一起构成的矩阵B=(A b)称为增广矩阵

通过一系列的行初等变换把这个增广矩阵转换为“简化阶梯矩阵”，就可以得出对应的解了。

2.线性方程组的可解性

线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且当两个矩阵的秩均为n有唯一解，<n则有无穷多解

然后根据列出的关系式，实现最后的基础解系

非齐次线性方程组解的结构：特解+齐次方程通解

线性无关
by examples

线性相关的核心要求，就是一组向量，其中任意一个向量都能通过其他向量的线性组合表示，或者采用方程的视角

线性无关的定义如下：

一组向量 {v₁, v₂, …, vₙ} 在线性空间中是线性无关的，如果不存在非零标量 {c₁, c₂, …, cₙ} 使得以下方程成立：

c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₙvₙ = 0

其中，0 是零向量。如果上述方程的唯一解是所有系数 c₁, c₂, …, cₙ 都等于零，则这组向量是线性无关的。这可以写成数学表达式的形式如下：

如果方程 c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₙvₙ = 0 有唯一解 c₁ = c₂ = … = cₙ = 0，则向量集合 {v₁, v₂, …, vₙ} 是线性无关的。

矩阵的秩
与基础解系的关系

与基础解系相关的内容总结：

基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。基础解系需要满足三个条件：(1)基础解系中所有量均是方程组的解；(2)基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示；(3)方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

“秩r=极大线性无关组中向量的个数,”

AX＝0，作用对象是A，求的是A的秩，求的是线性方程组里“有效”的方程的个数。（线性相关的视为重复无效）

“基础解系本身又是一个极大线性无关组,”

一组基础解系，是指AX＝0求X时，能用最“简洁”的一组解表达出所有的解（就是所谓的通解），作用对象是X。为了最“简洁”，它们就得线性无关；为了能表达出“所有”，它们就得“极大”涵盖所有情况。

“但其所含向量个数为n-r,”

这种求AX＝0的X的通解的情况（A不满秩时多解），是用自由变量表示出所有的变量。n-r正是自由变量的个数。这里的向量个数与A的秩挂钩，等于A满秩情况的秩-A实际情况的秩。

“那极大线无关组所含向量个数到底是r还是n-r?”

其实就是，极大线性无关描述的是方程个数还是解向量（的基础解系）个数，如果是方程是r（A）＝r，如果是解向量（的基础解系）是n-r。
作者：不知名小动物
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。